已知实数x满足9x-4×3x+1+27≤0且f（x）=（log2x2）（log2x2）．（Ⅰ）求实数x的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

Question

已知实数x满足9^x-4×3^x+1+27≤0且f（x）=（log₂(x)/(2)）（log √(2)(√(x))/(2)）．
（Ⅰ）求实数x的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

Answer 1

（1）实数x满足9^x-4×3^x+1+27≤0，
化解可得：（3^x）²-12•3^x+27≤0，
即（3^x-3）（3^x-9）≤0，
得3≤3^x≤9，
∴1≤x≤2，
故得x的取值范围为[1，2]；
（2）f（x）=（log₂(x)/(2)）（log √(2)(√(x))/(2)）．
化解可得：f（x）=（log₂x-log₂2）（2log2(√(x))/(2)）
=（log₂x-log₂2）（log₂x-log₂4）
=（log₂x-1）（log₂x-2）
=（log2x-(3)/(2)）²-(1)/(4)
∵x∈[1，2]，
∴log₂x∈[0，1]，
∴0≤=（log2x-(3)/(2)）²-(1)/(4)≤2．
∴当x=2时，f（x）有最小值0，当x=1时，f（x）有最大值2．