已知函数f(x)=e^x-1/2x^2-ax(a∈R)如果函数g(x)=f(x)-(a-1/2)x^2有两个不同的极值点,证明：a>√e/2

Question

已知函数f(x)=e^x-1/2x^2-ax(a∈R)如果函数g(x)=f(x)-(a-1/2)x^2有两个不同的极值点,证明：a>√e/2

Answer 1

g(x)=e^x-ax^2-ax有两个不同的极值点
g'(x)=e^x-2ax-a=0有两个0点
e^x=2ax+a 即图像y=e^x与y=2ax+a有两个交点
由此知直线y=2ax+a（过点（-1/2,0))的斜率大于0,且斜率大于这两个图像相切时的直线斜率
相切时的直线斜率e^x=2a 切点为(ln2a,2aln2a+a) e^ln2a=2aln2a+a 2a=√e
所以有两个不同的极值点2a>√e a>√e/2