大学线性代数确定a,b的值使下列方程组有解,并求其解aX1+bX2+2X3=1(b-1)X2+X3=0aX1+bX2+(1-b)X3=3-2b

Question

大学 线性代数
确定a,b的值使下列方程组有解,并求其解
aX1+bX2+2X3=1
(b-1)X2+X3=0
aX1+bX2+(1-b)X3=3-2b

Answer 1

这个好麻烦,期待好的解法
系数矩阵的行列式 |A|=a(1-b)(1+b)
当 |A|≠0,即a≠0 且 b≠1 且 b≠-1时,方程组有唯一解.
增广矩阵 =
a b 2 1
0 b-1 1 0
a b 1-b 3-2b
r3-r1
a b 2 1
0 b-1 1 0
0 0 -1-b 2-2b
当b=-1时,-1-b=0,2-2b=4≠0,此时方程组无解.
当b=1时,增广矩阵 -->
a 1 2 1
0 0 1 0
0 0 -2 0
-->
a 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
此时方程组的通解为:(0,1,0)'+c(1,-a,0)'.
当 b≠1 且 b≠-1 且 a=0 时,增广矩阵 -->
0 b 2 1
0 b-1 1 0
0 0 -1-b 2-2b
r1-2r2,r3+(1+b)r2
0 2-b 0 1
0 b-1 1 0
0 b^2-1 0 2-2b
若b=2,方程组无解
若b≠2,
r1*(1/(2-b)),r2-(b-1)r1,r3-(b^2-1)r1
0 1 0 1/(2-b)
0 0 1 (1-b)/(2-b)
0 0 0 (b-1)(b-5)/(2-b)
b=5时方程组有无穷多解,否则无解
此时,增广矩阵 -->
0 1 0 -1/3
0 0 1 4/3
0 0 0 0
方程组的通解为:(0,-1/3,4/3)'+c(1,0,0)'
综上有:
当a≠0 且 b≠1 且 b≠-1时,方程组有唯一解.
当b=1时,方程组的通解为:(0,1,0)'+c(1,-a,0)'.
当b=5且a=0时,方程组的通解为:(0,-1/3,4/3)'+c(1,0,0)'
其余情况,方程组均无解.