函数的方程已知二次函数f（x）=ax2+bx满足下列条件：1.f（-x+2002)=f(x-2000)；2.方程f（x）=x有重根.求f（x）的函数解析式.

Question

函数的方程
已知二次函数f（x）=ax2+bx满足下列条件：1.f（-x+2002)=f(x-2000)；2.方程f（x）=x有重根.求f（x）的函数解析式.

Answer 1

设函数解析式为f(x)=ax^2+bx+c
由于f(x)=x
所以 ax^2+bx+c=x
化简得ax^2+(b-1)x+c=0
因为方程f(x)=x有重根 ,
所以b-1=0
所以b=1
因为f(x)为二次函数
则对称轴为x=-b/2a=-1/2a
由于f(-x+2002)=f(x-2000),
故对称轴是x=(-x+2002+x-2000)/2=1=-1/2a
所以a=-1/2
所以f(x)=(-1/2)*x^2+x+c
现在只需要确定c的值即可
令方程f(x)=x的根为x=m
则(-1/2)*m^2+m+c=m
解得c=(1/2)*m^2
因为f(-x+2002)=f(x-2000)对于任何一个x值都成立
所以令x=m
代入方程得
(-1/2)*(-m+2002)^2+(-m+2002)+c=(-1/2)*(m-2000)^2+(m-2000)+c
化简得m=2001
所以c=(2001^2)/2
所以f(x)解析式为
f(x)=(-1/2)*x^2+x+(2001^2)/2
=(-1/2)*[x^2-2x+2001^2]
=(-1/2)*[x^2-2x+4004001]
或化简为=(-1/2)*(x-1)^2+2000000