y"+y=3e^(-x),y(0)=0,y撇(0)=0,求特解

Question

y"+y=3e^(-x),y(0)=0,y撇(0)=0,求特解

Answer 1

∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+1=0,则r=±i（复根）
∴此齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是任意常数)
∵设原方程的解为y=Ae^(-x)
代入原方程得Ae^(-x)+Ae^(-x)=3e^(-x)
==>2A=3
==>A=3/2
∴原方程的一个解是y=3e^(-x)/2
于是,原方程的通解是
y=C1cosx+C2sinx+3e^(-x)/2 (C1,C2是任意常数)
∵y(0)=0,y'(0)=0
∴代入y=C1cosx+C2sinx+3e^(-x)/2,求得C1=-3/2,C2=3/2
故所求特解是y=3(sinx-cosx+e^(-x))/2.