求微分方程y′′+（y′）²=1满足y=|x=0=0,y′|x=0=0的特解.

Question

求微分方程y′′+（y′）²=1满足y=|x=0=0,y′|x=0=0的特解.

Answer 1

令z=y'
原方程变为
z'+z²=1
dz/dx=1-z²
dz/(1-z²)=dx
(1/2)[dz/(1-z)+dz/(1+z)]=dx
(1/2)ln|(1+z)/(1-z)|=x+C
代入x=0,z(0)=y'(0)=0
C=0
ln|(1+z)/(1-z)|=2x
(1+z)/(1-z)=e^(2x)
1+z=e^2x-e^2x z
z=(e^2x-1)/(e^2x+1)
y'=(e^2x-1)/(e^2x+1)=1-2/(e^2x +1)
积分
y=C+x-2积分 e^x dx/[e^x(e^2x+1)]
t=e^x,dt=e^xdx
y=C+x-2积分 dt/[t(t^2+1)]
=C+x-2积分 [dt/t-t dt /(t^2+1)]
=C+x-2ln |t|+ln|t^2+1|
=C+x-2x+ln(e^2x +1)
=C-x+ln(e^2x+1)
代入x=0,y(0)=0
C=-ln2
y=-ln2-x+ln(e^(2x)+1)