微分方程求y〃-3y＇+2y=e的x次方的一个特解使得x趋向于0时为x的等价无穷小

Question

微分方程
求y〃-3y＇+2y=e的x次方的一个特解 使得x趋向于0时为x的等价无穷小

Answer 1

特征方程为：λ^2-3λ+2=0
得：λ=1,2
故齐次方程通解y1=c1e^x+c2e^2x
设特解y*=axe^x,
y*'=a(1+x)e^x
y*"=a(2+x)e^x
代入原方程得：a(2+x)-3a(1+x)+2ax=1
2+x-3-3x+2x=1/a
得:a=-1
所以原方程通解为y=y1+y*=c1e^x+c2e^2x-xe^x
x趋向于0时y为x的等价无穷小,可得：
y~c1(1+x+h1)+c2(1+2x+h2)-x(1+x+h3), 其中h1,h2,h3,h4为2阶及以上的项
~(c1+c2)+x(c1+2c2-1)+h4
因此有c1+c2=0, c1+2c2-1=1
解得：c1=-2, c2=2,
因此所求的y为：
y=-2e^x+2e^2x-xe^x