上限√3,下限1,∫dx/(x^2√(1+x^2)),答案是√2-2√3/3,

Question

上限√3,下限1,∫dx/(x^2√(1+x^2)),答案是√2-2√3/3,

Answer 1

令x＝tanu,则：sinu＝tanu/√［1＋（tanu）^2］＝x/√（1＋x^2）,dx＝［1/（cosu）^2］du.
∴∫｛1/［x^2√（1＋x^2）］｝dx
＝∫｛1/［（tanu）^2/cosu］｝［1/（cosu）^2］du
＝∫｛1/［（tanu）^2cosu］｝du
＝∫［cosu/（sinu）^2］du
＝∫［1/（sinu）^2］d（sinu）
＝－1/sinu＋C
＝－√（1＋x^2）/x＋C.
∴∫（上限为√3,下限1）｛1/［x^2√（1＋x^2）］｝dx
＝－√（1＋x^2）/x｜（上限为√3,下限1）
＝－√（1＋3）/√3＋√（1＋1）
＝√2－2√3/3.