高数方面的问题设函数f(x)在数集X强有定义,试证明：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上即有上界又有下界.

Question

高数方面的问题
设函数f(x)在数集X强有定义,试证明：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上即有上界又有下界.

Answer 1

这种题你要根据有界性的 定义来证明.
存在一个正数H 使得当X属于定义区间时,f(x)的绝对值 ≤H 恒成立 这样就说f(x)有界.
先证明有界的充分性（即看某某条件能否推出f(x)有界）
依题意, f(x)在区间上 有上界和下界
不妨设 最小值为m 最大值为M 所以 有 m≤f(x）≤M 令H等与 M的绝对值 和m的绝对值中最大的那个值. 所以找到了 H 即有
(x)的绝对值 ≤H 证毕
必要性 （即看f(x)的绝对值 ≤H能否推出有上下界）
因为f(x)的绝对值 ≤H 所以 绝对值不等式去掉 绝对值符号 变成 -H≤f(x）≤H -H 就是下界 H就是上界. 所以得证.
综上所述.得到结论.
有界性定义 要求找到 一个正数 H 即可. 没说 H 要不要是最小 你 比如
-2≤f(x）≤5 显然 这样的f(x）也肯定满足 -5≤f(x）≤5 显然 有f(x)的绝对值 ≤5 即你找到了一个 正数H 它是5 .
其实 你 令H=6 等于 10000 都能保证-2≤f(x）≤5 所以 对 这个H的理解要把握好