已知函数f（x）=alnx+bx2在x=1处的切线方程为x-y=1．（1）求f（x）的表达式；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）为g（x）的一个“上界函数”，当（1）中的f（x）为函数g（x）=tx-lnx（t∈R

Question

已知函数f（x）=alnx+bx²在x=1处的切线方程为x-y=1．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）为g（x）的一个“上界函数”，当（1）中的f（x）为函数g（x）=(t)/(x)-lnx（t∈R）的一个“上界函数”时，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²，可得：b=0，
∴f′（x）=(a)/(x)，由切线方程知f′（1）=1，即a=1，
因此a=1，b=0，∴f（x）=lnx；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），得(t)/(x)-lnx≤lnx恒成立，
∵x>0，∴只需要t≤2xlnx在（0，+∞）恒成立即可，
令h（x）=2xlnx，则h′（x）=2（1+lnx），
当x∈（0，(1)/(e)）时，h′（x）<0，∴h（x）在（0，(1)/(e)）上是减函数，
当x∈（(1)/(e)，+∞）时，h′（x）>0，∴h（x）在（(1)/(e)，+∞）上是增函数，
h（x）_min=h（(1)/(e)）=-(2)/(e)，
∴t≤-(2)/(e)．
∴实数t的取值范围是（-∞，-(2)/(e)]．