单调有界准则证明：Xn=√(3+X(n-1))﹥X(n-1)已知数列{Xn}有上界,且Xn﹤3

Question

单调有界准则证明：Xn=√(3+X(n-1))﹥X(n-1)
已知数列{Xn}有上界,且Xn﹤3

Answer 1

如果题目无误,还应给出数列首项x₁的数值
否则,仅根据{xn}有上界,且xnx(n-1)的结论
原因是,根据已知,x₁应在[-3,3)取值,若数列单调增加,则必有
x₂> x₁,即√(3+ x₁)> x₁,解不等式得到
x₁ x₁
再证当xn> x(n-1)成立时,x(n+1)> x(n)成立；注意到x(n+1)= √(3+xn)> √[3+x(n-1)]=xn
2．若给定的x₁不在上述范围
例如x₁=2.5,此时x₂=√(3+ x₁)≈2.345,可以证明数列单调递减,即xn