设函数f（x）=12x2-mlnx，g（x）=x2-（m+1）x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

Question

设函数f（x）=(1)/(2)x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

Answer 1

函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=(x2-m)/(x)，
当m≤0时，f′（x）≥0，所以函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间；
当m>0时，f′（x）=((x+√(m))(x-√(m)))/(x)；
当0<x<√(m)时，f′（x）<0，函数f（x）的单调递减；
当x>√(m)时，f′（x）>0，函数f（x）的单调递增．
综上：当m≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间；当m>0时，函数f（x）的单调增区间是（√(m)，+∞），减区间是（0，√(m)）；
（2） 令F（x）=f（x）-g（x）=-(1)/(2)x²+（m+1）x-mlnx，x>0，问题等价于求函数F（x）的零点个数，
当m=0时，F（x）=-(1)/(2)x²+x，x>0，有唯一零点；当m≠0时，F′（x）=-((x-1)(x-m))/(x)，
当m=1时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（1）=(3)/(2)>0，F（4）=-ln4<0，所以F（x）有唯一零点；
当m>1时，令F′（x）>0，解得：1<x<m，令F′（x）<0，解得：x>m或x<1，
∴F（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，
∴F（x）_极小值=h（1）=m+(1)/(2)>0，
∴F（x）和x轴有1个交点，
综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．