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已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(0,12)无零点,求a的最小值.

题目详情
已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(0,
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)无零点,求a的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)当a=1时,f(x)=x-1-2lnx,则f′(x)=1-
2
x
,定义域x∈(0,+∞),
由f′(x)>0,得x>2;由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞).
(2)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,
令m(x)=(2-a)(x-1),x>0;h(x)=2lnx,x>0,则f(x)=m(x)-h(x),
①当a<2时,m(x)在(0,
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)上为增函数,h(x)在(0,
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)上为增函数.
结合图象可知,若f(x)在(0,
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)无零点,则m(
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)≥h(
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).
即(2-a)×(
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-1)≥2ln
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,∴a≥2-4ln2.
∴2-4ln2≤a<2.
②当a≥2时,在(0,
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)上m(x)≥0,h(x)<0.
∴f(x)>0,
∴f(x)在(0,
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)上无零点,
由①②得a≥2-4ln2,
∴amin=2-4ln2.