设f（x，y）在（x0，y0）的某邻域内连续，且在（x0，y0）处有偏导数fx（x0，y0），fy（x0，y0），则f（x，y）在（x0，y0）处可微．

Question

设f（x，y）在（x₀，y₀）的某邻域内连续，且在（x₀，y₀）处有偏导数f_x（x₀，y₀），f_y（x₀，y₀），则f（x，y）在（x₀，y₀）处可微．

Answer 1

证明：由f（x，y）在（x₀，y₀）的某邻域内连续，得

lim

(x，y)→(x0，y0)

f(x，y)＝f(x0，y0)
∴f（x，y）=f（x₀，y₀）+o（ρ）
其中ρ＝√(△x2+△y2)，△x=x-x₀，△y=y-y₀
又△f（x₀，y₀）=f（x，y）-f（x₀，y₀）
设f_x（x₀，y₀）=A，f_y（x₀，y₀）=B，则

lim

ρ→0

(△f(x0，y0)−A△x−B△y)/(ρ)=

lim

ρ→0

(△f(x0，y0))/(ρ)-

lim

ρ→0

(A△x+B△y)/(ρ)=0
∴f（x，y）在（x₀，y₀）处可微