如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=10，点E、F是矩形内两点，BE=DF=3，AE=CF=4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，（1）求证：四边形EHFG是矩形；（2）求EF的长．

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=10，点E、F是矩形内两点，BE=DF=3，AE=CF=4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，

（1）求证：四边形EHFG是矩形；
（2）求EF的长．

Answer 1

（1）∵矩形ABCD中，AB=5，BE=3，AE=4，
∴AB²=AE²+BE²，∴∠GEH=∠AEB=90°，同理∠GFH=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，在△ABE与△CDF中，

AE=CF

BE=DF

AB=CD

，∴△ABE≌△CDF，∴∠DCG=∠BAH，∵∠BAH+∠GAE=∠BAH+∠GAH=90°，
∴∠BAH=∠GAH=∠DCG，
∴∠CGD+∠AGB=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠GEH=∠BGC=∠GFH=90°，
∴四边形EHFG是矩形；
（2）∵∠BAG=90°，AE⊥BG，
∴△ABE∽△AEG，
∴AE²=BE•GE，
∴EG=(4×4)/(3)=(16)/(3)，
同理GF=(DF2)/(CF)=(32)/(4)=(9)/(4)，
∴EF=√(GE2+GF2)=(5√(193))/(12)．