曲线c:x^2/m+y^2/n=1(m>0,n>0),与正方形|x|+|y|=4的边界相切,m+n=?

Question

曲线c:x^2/m+y^2/n=1(m>0,n>0) ,与正方形|x|+|y|=4的边界相切,m+n=?

Answer 1

由于曲线C:x^2/m+y^2/n=1(m>0,n>0)①关于x,y轴对称,
所以只需考虑x>0,y>0时与x+y=4相切,
把y=4-x代入①,得nx^2+m(16-8x+x^2)=mn,
整理得(m+n)x^2-8mx+16m-mn=0,
△/4=16m^2-(m+n)(16m-mn)=mn(m+n-16)=0,
∴m+n=16.