级数∞n＝1（-1）n（1-cosan）（常数a＞0）（）A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．收敛性与a有关

Question

级数

∞

n＝1

（-1）ⁿ（1-cos(a)/(n)）（常数a＞0）（　　）

A．发散
B．条件收敛
C．绝对收敛
D．收敛性与a有关

Answer 1

显然题目中的级数为交错级数
（1）首先判断其是否收敛，这里用莱布尼兹判别法
∵(a)/(n)＜(a)/(n−1)，cosx为单调递减函数，在[0，1]区间，∴cos(a)/(n)＞cos(a)/(n−1)
∴(1−cos(a)/(n))≥(1−cos(a)/(n−1)) 
满足莱布尼兹判别法第一个条件

lim

n→∞

(1−cos(a)/(n))＝0满足莱布尼兹判别法第二个条件，
因此，级数

∞

n＝1

(−1)n(1−cos(a)/(n))收敛．
（2）判断级数是否绝对收敛，这里用比值判别法

lim

n→∞

((1−cos(a)/(n+1)))/((1−cos(a)/(n)))＜1，所以级数

∞

n＝1

|(−1)n(1−cos(a)/(n))|收敛，
因此，级数

∞

n＝1

(−1)n(1−cos(a)/(n))绝对收敛
故答案为：C