证明阿贝尔定理：若∞n＝0anx0n（x0≠0）收敛，则当|x|＜|x0|时，幂级数∞n＝0anxn绝对收敛；若∞n＝0anx1n发散，则当|x|＞|x1|时，幂级数∞n＝0anxn发散．

Question

证明阿贝尔定理：若

∞

n＝0

a_nx₀ⁿ（x₀≠0）收敛，则当|x|＜|x₀|时，幂级数

∞

n＝0

a_nxⁿ绝对收敛； 若

∞

n＝0

a_nx₁ⁿ发散，则当|x|＞|x₁|时，幂级数

∞

n＝0

a_nxⁿ发散．

Answer 1

证明：（1）因为

∞

n＝0

a_nx₀ⁿ（x₀≠0）收敛，
所以

lim

n→∞

n

|an||x0|n

≤1，
即|x0|

lim

n→∞

n

|an|

≤1．
从而，当|x|＜|x₀|时，

lim

n→∞

n

|an||x|n

=|x|

lim

n→∞

n

|an|

＜|x0|

lim

n→∞

n

|an|

≤1，
从而，|x|＜|x₀|时，幂级数

∞

n＝0

a_nxⁿ绝对收敛．
（2）利用反正法．
假设∃x₀，|x₀|＞|x₁|，且幂级数

∞

n＝0

a_nx₀ⁿ收敛．
则由（1）可得，对于|x₁|＜|x₀|，幂级数

∞

n＝0

a_nx₁ⁿ绝对收敛，
与

∞

n＝0

a_nx₁ⁿ发散矛盾，
故当|x|＞|x₁|时，幂级数

∞

n＝0

a_nxⁿ发散．