设级数∞n＝1an(x−1)n在x=-3处条件收敛，则幂级数∞n＝1anx2n的收敛半径为R=．

Question

设级数

∞

n＝1

an(x−1)n在x=-3处条件收敛，则幂级数

∞

n＝1

anx2n的收敛半径为R=______．

Answer 1

依题意，级数

∞

n＝1

an(x−1)n的收敛半径R=|-3-1|=4
∴由R＝

lim

n→∞

|(an)/(an+1)|，知

lim

n→∞

|(an)/(an+1)|＝4
而幂级数

∞

n＝1

anx2n，由

lim

n→∞

|(an+1x2(n+1))/(anx2n)|＝x2

lim

n→∞

|(an+1)/(an)|=(1)/(4)x2，知
(1)/(4)x2＜1时，即x²1时，即x²＞4幂级数

∞

n＝1

anx2n收敛
∴幂级数

∞

n＝1

anx2n的收敛半径为R=2