级数结果请问收敛*发散,发散*发散,收敛*收敛.结果是什么

Question

级数结果
请问收敛*发散,发散*发散,收敛*收敛.结果是什么

Answer 1

你是问已知∑an和∑bn的敛散性,判断∑an·bn的敛散性?
结果是,无论已知的敛散性如何,都不能确定.
各种情况分别举例如下:
1) 收敛*收敛:对an = bn = 1/n²,易见∑an,∑bn,∑an·bn都收敛.
对an = bn = (-1)^n/√n,有∑an,∑bn收敛(Leibniz判别法),但∑an·bn = ∑1/n发散.
2) 收敛*发散:对an = 1/n²,bn = n,易见∑an收敛,∑bn发散,∑an·bn也发散.
而对an = 1/n²,bn = 1,易见∑an收敛,∑bn发散,但∑an·bn收敛.
3) 发散*发散:对an = bn = 1,易见∑an,∑bn,∑an·bn都发散.
对an = bn = 1/n,易见∑an与∑bn发散,但∑an·bn收敛.