曲率公式推导参数方程曲率公式用y'和y''表示了K设x=φ（t）,y=ψ(t)怎么推导出来曲率的参数方程表达式呢?

Question

曲率 公式 推导 参数方程
曲率公式用y'和y''表示了K
设x=φ（t）,y=ψ(t)
怎么推导出来曲率的参数方程表达式呢?

Answer 1

对弧长求导(ph'^2+psi'^2)^(-1/2) d/dt
切矢量 (ph',psi')(ph'^2+psi'^2)^(-1/2)
切矢量 对弧长求导
{(ph',psi')(ph'^2+psi'^2)^(-1/2)}'(ph'^2+psi'^2)^(-1/2)
=
{(ph'',psi'')(ph'^2+psi'^2)^(-1)}+
{(ph',psi')(-1/2)(2ph'ph''+2psi'psi'')}(ph'^2+psi'^2)^(-3/2)(ph'^2+psi'^2)^(-1/2)
这个矢量的大小就是曲率