如图，将正△ABC分割成16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个

Question

如图，将正△ABC分割成16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点的数之和S=___．

Answer 1

由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）
当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2=(3×4)/(6)，
当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，
同样根据等差中项可得，M的数为(1)/(3)，所以f（3）=3+(1)/(3)=(4×5)/(6)，
依次可知结论为f（n）=(n(n+1))/(6)，那么可知顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，
则n=5时，所有顶点的数之和S=5，
故答案为：5．