如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D（4，2），过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒2个单位长度

Question

如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点D （4，2），过A、D两点的直线交y轴于点F．若△ECD沿DA方向以每秒√(2)个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t（秒），记△ECD在平移过程中某时刻为△E′C′D′，E′D′与AB交于点M，与y轴交于点N，C′D′与AB交于点Q，与y轴交于点P（注：平移过程中，点D′始终在线段DA上，且不与点A重合）．

（1）求直线AD的函数解析式；
（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN为边，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时t的取值范围．

Answer 1

（1）由题意A（2.0），
由D（4，2），
可得直线AD解析式：y=x-2；
（2）在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积存在最大值，

理由如下：
由B（0，4），
可得直线AB解析式：y=-2x+4，
直线BD解析式：y＝−(1)/(2)x+4，J（1，2）．
在△ECD平移t秒时，由∠CDF=45°，
可得D′（4-t，2-t），N（0，4−(3)/(2)t），
设直线E′D′解析式为：y＝−(1)/(2)x+4−(3)/(2)t，
可得M（t，4-2t），
Q（(t+2)/(2)，2−t），P（0，2-t）
由△MQD′∽△BJD，得(S△MQD′)/(S△BJD)＝((3−(3)/(2)t)/(3))2，
可得S_△MQD′=3(1−(1)/(2)t)2，
S_{梯形E′C′PN}=(1)/(2)t(2+2−(1)/(2)t)＝−(1)/(4)t2+2t，
S_{四边形MNPQ}=S_{△E′C′D′-} S_△MQD′- S_{梯形E′C′PN}

＝−(1)/(2)t2+t+1

＝−(1)/(2)(t−1)2+(3)/(2)

∴当t=1时，S_最大=(3)/(2)；
（3）当点H在x轴上时，有M（t，4-2t）横纵坐标相等，
即t=4-2t，
∴t＝(4)/(3)，
∴0＜t＜(4)/(3)．