证明：n个连续自然数的乘积能被n!整除（非排列组合法证明）

Question

证明：n个连续自然数的乘积能被n!整除（非排列组合法证明）

Answer 1

连续n个数可以记为m+1,m+2,...,m+n,乘积为M
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 1 ＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 2 ＝0*1*...＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 3 ＝0*1*2*...＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 4 ＝0*1*2*3*...＝0
...
(m+1)(m+2)...(m+n) mod n ＝0*1*2*3*...*n=0
文字表述为：
因为连续n个数必定占据n的全余数子集,会有某个数和n同余.
所以这n个数的积必定整除n.
因为n>1到n-1的任意整数,所以自然M也整除1到n-1的所有数.
既然M整除1到n的所有数,那么M整除n!