对非负实数x，“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−12≤x＜n+12，则＜x＞=n．试解决下列问题：（1）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说

Question

对非负实数x，“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−(1)/(2)≤x＜n+(1)/(2)，则＜x＞=n．
试解决下列问题：
（1）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（2）求满足＜x＞＝(4)/(3)x的所有非负实数x的值；
（3）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2−x+(1)/(4)的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜√(k)＞＝n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

Answer 1

（1）①证明：设＜x＞=n，则n−(1)/(2)≤x＜n+(1)/(2)，n为非负整数；
∴(n+m)−(1)/(2)≤x+m＜(n+m)+(1)/(2)，且n+m为非负整数，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（2）∵x≥0，(4)/(3)x为整数，设(4)/(3)x=k，k为整数，
则x＝(3)/(4)k
∴＜(3)/(4)k＞＝k
∴k−(1)/(2)≤(3)/(4)k＜k+(1)/(2)，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，(3)/(4)，(3)/(2)．

（3）∵函数y＝x2−x+(1)/(4)＝(x−(1)/(2))2，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴(n−(1)/(2))2≤y＜(n+1−(1)/(2))2，即(n−(1)/(2))2≤y＜(n+(1)/(2))2，①
∴n2−n+(1)/(4)≤y＜n2+n+(1)/(4)，∵y为整数，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜√(k)＞=n，
则n−(1)/(2)≤

作业帮用户 2017-10-30

问题解析

（1）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；
（2）(4)/(3)x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-(1)/(2)和k+(1)/(2)之间，包括kx-(1)/(2)，不包括k+(1)/(2)，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
（3）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得√(k)的整数个数为2n，由此得证．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n−(1)/(2)≤x＜n+(1)/(2)，则＜x＞=n．

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