（2012•泉州质检）如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交BC于E，M、N分别是AC、BC上的点，且DN⊥DM．（1）求证：△DNE∽△MDA；（2）若AC=6，BC=8，求tan∠DMN的值．

Question

（2012•泉州质检）如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交BC于E，M、N分别是AC、BC上的点，且DN⊥DM．
（1）求证：△DNE∽△MDA；
（2）若AC=6，BC=8，求tan∠DMN的值．

Answer 1

（1）∵DE⊥AB，DN⊥DM，
∴∠EDN+∠EDM=∠EDM+∠ADM=90°，
∴∠EDN=∠ADM，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠NED+∠DEC=∠A+∠DEC=180°，
∴∠NED=∠A，
∴△DNE∽△MDA   …（5分）

（2）∵△DNE∽△MDA，
∴(ND)/(DM)＝(DE)/(AD)，
∵D是AB的中点，
∴(ND)/(DM)＝(DE)/(BD)，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△BDE∽Rt△BCA，
∴(DE)/(BD)＝(CA)/(CB)，
∴(ND)/(DM)＝(CA)/(CB)，
在Rt△MDN中，tan∠DMN=(ND)/(DM)＝(CA)/(CB)=(6)/(8)=(3)/(4)．…（9分）