正三棱锥高为1,底面边长为2根号6,内有一球与四个面都相切求：1）求棱锥的全面积；2）求球的半径以及表面积

Question

正三棱锥高为1,底面边长为2根号6,内有一球与四个面都相切
求：1）求棱锥的全面积；
2）求球的半径以及表面积

Answer 1

(1)（设三棱锥的编号为ABCD,A为顶点,BCD为正三角形,并设其中心点设为H,由题可知,AH为高,BC为地面边长,过A点作BC边的垂线,垂足为E,连接HE、HB,根据三角关系分别算出：
HE=√2,HB=2√2,AE=√3.
（2）在AH上取一点Q,使该点到底面的距离和该点到棱面得距离相等,即过Q点作面ABC的垂线,该垂线必与AE相交,交点为F,QF=QH（QF必为内切圆的半径）.
令QF=x,则AQ=1-x,根据三角形AQF与AHE相似的关系,必有 QF/HE=AQ/AE
即x/√2=（1-x）/√3
解得x=√6 - 2,即 内切圆半径QF=√6 - 2.
（3）内切圆的表面积S=（40-16√6 ）*PI
体积V=4/3*PI*(QF的立方）{自己算一下}
（这个是别人的答案,我帮你搜了一下复制过来了）