是否存在这样的两个完全平方数,使其和是完全平方数,其差也是完全平方数(不考虑0)

Question

是否存在这样的两个完全平方数,使其和是完全平方数,其差也是完全平方数(不考虑0)

Answer 1

不妨令(a,b,c,d)=1 （若它们有公约数则除去公约数后仍满足）
a^2+b^2=c^2, a^2-c^2=d^2
由勾股方程的整数根的公式,
从a^2+b^2=c^2得：a,b其中一个为奇数,另一为偶数,不妨设a为奇数,b为偶数,这样c为奇数
a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2, 这里(m,n)=1,
因此 c-a=2n^2
同理,由c^2+d^2=a^2,因为c为奇数,a为奇数,所以为b偶数,得：
c=p^2-q^2, d=2pq, a=p^2+q^2, 因此a-c=2q^2
两式相加有：2n^2+2q^2=0,
只能有：n=q=0, 这样b=d=0. a=c
因此没有非零解.