若m2=m+1，n2-n-1=0且m≠n，试求代数式m7+n7的值．

Question

若m²=m+1，n²-n-1=0且m≠n，试求代数式m⁷+n⁷的值．

Answer 1

由m²=m+1，得m²-m-1=0，又由n²-n-1=0，知m，n是方程x²-x-1=0的两根，
由根与系数关系，得m+n=1，mn=-1，
所以m²+n²=（m+n）²-2mn=1+2=3，m⁴+n⁴=（m²+n²）²-2m²n²=9-2=7，
又因为（m²+n²）（n⁴+n⁴）=m⁶+m²n⁴+m⁴n²+n⁶即21=m⁶+n⁶+m²n²（m²+n²），
解得m⁶+n⁶=21-3=18，
所以m⁷+n⁷=（m+n）（m⁶-m⁵n+m⁴n²+m³n³-m²n⁴-mn⁵+n⁶）
=m⁶-m⁵n+m⁴n²+m³n³-m²n⁴-mn⁵+n⁶
=m⁶+n⁶+m⁴-m³n+m²n²-mn³+n⁴（mn=-1代入）
=m⁶+n⁶+m⁴+n⁴+m²+n²+1
=18+7+3+1
=29．