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若m2=m+1,n2-n-1=0且m≠n,试求代数式m7+n7的值.
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若m2=m+1,n2-n-1=0且m≠n,试求代数式m7+n7的值.
▼优质解答
答案和解析
由m2=m+1,得m2-m-1=0,又由n2-n-1=0,知m,n是方程x2-x-1=0的两根,
由根与系数关系,得m+n=1,mn=-1,
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1+2=3,m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=9-2=7,
又因为(m2+n2)(n4+n4)=m6+m2n4+m4n2+n6即21=m6+n6+m2n2(m2+n2),
解得m6+n6=21-3=18,
所以m7+n7=(m+n)(m6-m5n+m4n2+m3n3-m2n4-mn5+n6)
=m6-m5n+m4n2+m3n3-m2n4-mn5+n6
=m6+n6+m4-m3n+m2n2-mn3+n4(mn=-1代入)
=m6+n6+m4+n4+m2+n2+1
=18+7+3+1
=29.
由根与系数关系,得m+n=1,mn=-1,
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1+2=3,m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=9-2=7,
又因为(m2+n2)(n4+n4)=m6+m2n4+m4n2+n6即21=m6+n6+m2n2(m2+n2),
解得m6+n6=21-3=18,
所以m7+n7=(m+n)(m6-m5n+m4n2+m3n3-m2n4-mn5+n6)
=m6-m5n+m4n2+m3n3-m2n4-mn5+n6
=m6+n6+m4-m3n+m2n2-mn3+n4(mn=-1代入)
=m6+n6+m4+n4+m2+n2+1
=18+7+3+1
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