为什么1的平方加2的平方加3的平方加4的平方到n的平方和=n乘(n+1)乘(2n+1)除以6

Question

为什么1的平方加2的平方加3的平方加4的平方到n的平方和=n乘(n+1)乘(2n+1)除以6

Answer 1

两种方法证明
【证明一】归纳法
当n=1时,有1^2=1*(1+1)(2*1+1)/6＝1成立
假设当n=k时,有1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
则当n=k+1时,有1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)+6*(k+1)]/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
由此可见,当n=k+1时,1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6也成立
综上所述,对n∈N,有1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6恒成立
【证明二】立方差法
由立方差公式：
n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-2)^2-3(n-2)+1
...
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
1^3=3*1^2-3*1+1
以上n个式子相加：
--->n^3=3(1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2)-3(1+2+3+4+...+n)+n
--->1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=[n^3+(3/2)n(n+1)-n]/3
　　　　　　　　　　　=(1/6)n[2n^3+3n+3-2]
　　　　　　　　　　　=(1/6)n(n+1)(2n+1)