因式分解题设二次三项式ax^2+bx+c的系数都是正整数,已知当x=1991时,二次三项式的值a*1991^2+b*1991+c=p是一个素数,证明:ax^2+bx+c不可能分解成两个整系数一次式的积

Question

因式分解题
设二次三项式ax^2+bx+c的系数都是正整数,已知当x=1991时,二次三项式的值a*1991^2+b*1991+c=p是一个素数,证明:ax^2+bx+c不可能分解成两个整系数一次式的积

Answer 1

证明:思路,反证法.
假设ax^2+bx+c可以分解成两个整系数一次式的积,
那么可以设ax^2+bx+c=(mx+n)(rx+t)其中,m,n,r,t为正整数
则当x=1991时,
a*1991^2+b*1991+c=(m*1991+n)(r*1991+t)=1*p=-1*(-p)
显然,不妨设m*1991+n=1
r*1991+t=p
显然不可能存在mn为正整数,使m*1991+n=1成立.
矛盾.
所以假设不成立.
ax^2+bx+c不可能分解成两个整系数一次式的积