已知(根号下X+立方根下X分之一)^n展开式中偶数项的系数和比(a+b)^n展开式中奇数项的系数和少120,求第一个展开式中的第三项.已知(根号下X+1/立方根下X)^n展开式中偶数项的系数和比(a+b)^n展开

Question

已知(根号下X+立方根下X分之一)^n展开式中偶数项的系数和比(a+b)^n展开式中奇数项的系数和少120,求第一个展开式中的第三项.
已知(根号下X + 1/立方根下X)^n展开式中偶数项的系数和比(a+b)^n展开式中奇数项的系数和少120,求第一个展开式中的第三项.

Answer 1

你那个n应该不是一样的吧,如果不是一样的,前面一个记为n,后面一个记为k.因为
(1+x)^m的奇数项与偶数项和相等且都为2^(n-1)
因此
2^(n-1)-2^(k-1)=120
即
2^(k-1)*(2^(n-k)-1)=120
因此
2^(k-1)=8,k=4
2^(n-k)-1=15,n-k=4,n=k+4=8
因此第一个展开式第三项为
C_8^3[x^(1/2)]^5*[1/x^(1/3)]^3=56x^(3/2)