高数题,求解设f(x)在(-∞,∞)上可导,f(x)f'(x)>0.证明,f(x)至多只有一个零点

Question

高数题,求解
设f(x)在(-∞, ∞)上可导,f(x) f'(x)>0.证明,f(x)至多只有一个零点

Answer 1

构造函数φ（x）＝1/2［f（x）]^2＋f（x）
则φ'（x）＝f（x）＋f'（x）
依题意,f（x）＋f'（x）＞0
即φ'（x）＞0,从而φ（x）单调递增!
又φ（x）可看作是t＝f（x）与φ（t）＝1/2t^2＋t复合而成,因此f（x）也在实数集R上单调递增!（同增异减原则）
①当lim（x→∞）f（x）＝0时,f（x）无零点!
②当lim（x→∞）f（x）＝∞时,f（x）有唯一零点!
综上：f（x）至多有一个零点!