已知直线L与抛物线C1:y=-x^2,C2:y=-x^2+ax分别相切于点AB且绝对值AB=3*根号下5/4求a的值.

Question

已知直线L与抛物线C1:y=-x^2,C2:y=-x^2+ax分别相切于点AB且绝对值AB=3*根号下5/4求a的值.

Answer 1

设直线为y=kx+b (1) A(x1,y1) B(x2,y2)
抛物线y=-x^2 (2)
抛物线y=-x^2+ax (3)
(1)代入（2）得
x^2+kx+b=0
因为相切,
所以x1=-k/2
y1=-k^2/2+b
判别式=0 k^2=4b
(1)代入（3）得
x^2+(k-a)x+b=0
判别式=0 (k-a)^2=4b
x2=(a-k)/2
y2=k(a-k)/2+b
因为k^2=(k-a)^2
所以k=-(k-a)
a=2k
则x2=k/2
y2=k^2/2+b
因为AB=3√5/4
所以(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=45/16
k^2+(k^2)^2=45/16
16k^4+16k^2-45=0
(4k^2-5)(4k^2+9)=0
k^2=5/4
k=±√5/2
则a=2k=±√5