导数基本公式的证明,推导如何推导Sin的导数是Cos,指数函数,对数函数的推导在详细点y=a^x到y'=a^xlna\y=loga,x到y'=loga,e/xsinx到cosx、cos到-sin

Question

导数基本公式的证明,推导
如何推导Sin的导数是Cos,指数函数,对数函数的推导
在详细点y=a^x 到y'=a^x lna \y=loga,x 到y'=loga,e/x
sinx到cosx、cos到-sin

Answer 1

这个比较复杂
可以用泰勒公式
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!.
那么有e^(ix)=1+ix+(ix)^2/2!+(ix)^3.3!.
=1+ix-x^2/2-ix^3/3!...（1）
有因为有e^(ix)=cosx+isinx （2）
把（1）式拆开,把实数项写一起,虚数项写一起,和（2）式对应,可知
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!.
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!.
可以看出sin'x=cosx