已知数列﹛an﹜满足a1=1/2,an+1=an/e^nan+e(其中e为自然对数的底数）求an的通项公式设Sn=a1+a2+…+an;Tn=a1*a2*…*an,求证Sne^-n^2

Question

已知数列﹛an﹜满足a1=1/2,an+1=an/e^nan+e(其中e为自然对数的底数）
求an的通项公式 设Sn=a1+a2+…+an;Tn=a1*a2*…*an,求证Sne^-n^2

Answer 1

1)a(n+1)=an/(e^n*an+e),则1/a(n+1)=e/an+e^n.两边同除e^(n+1)得：1/[a(n+1)e^(n+1)]=1/(ane^n)+1/e.所以,数列{1/(ane^n)}是首项为1/(a1e)=2/e、公差为1/e的等差数列.其通项公式为1/(ane^n)=2/e+(n-1)/e=(n+1)/e.数列{an}的通项公式为：an=1/[(n+1)e^(n-1)],其中n为正整数.(2)设f(x)=e^x-x-1(x>=0),则f'(x)=e^x-1>=0,即f(x)在区间[0,+无穷)上为增函数.所以当x>0时,有f(x)=e^x-x-1>f(0)=0,即e^x>x+1(x>0)、e^(x-1)>=x(x>=1).所以,an=1/[(n+1)e^(n-1)]1/[e^n*e^(n-1)]=1/e^(2n-1).Sn>=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1).Tn