已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．（1）求抛物线的方程；（2）设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．

Question

已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4， ．
（1）求抛物线的方程；
（2） 设点 是抛物线上的两点， 的角平分线与 轴垂直，求 的面积最大时直线 的方程．

Answer 1

已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4， ．
（1）求抛物线的方程；
（2） 设点 是抛物线上的两点， 的角平分线与 轴垂直，求 的面积最大时直线 的方程．

（1） ;（2）

试题分析：（1）由于点 是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，假设点 ，再通过 ，可得一个关于 与 的关系式，在结合抛物线方程即可求出 ．从而求得抛物线的方程．
（2）因为 的角平分线与 轴垂直，所以可知 的倾斜角互补，即 的斜率互为相反数．所以假设直线PA，联立抛物线方程即可得到点A的坐标，类比地求出点B的坐标．结合韦达定理，可以得到直线AB的斜率为定值-1．通过假设直线AB的方程，联立抛物线的方程，应用点到直线的距离，即可表示三角形的面积．再通过求最值即能到结论．
（1）设 ，因为 ，由抛物线的定义得 ，又 ，所以 ，
因此 ，解得 ，从而抛物线的方程为 ．
（2）由（1）知点 的坐标为 ，因为 的角平分线与 轴垂直，所以可知 的倾斜角互补，即 的斜率互为相反数
设直线 的斜率为 ，则 ，由题意 ，
把 代入抛物线方程得 ，该方程的解为4、 ，
由韦达定理得 ，即 ，同理 ，
所以 ，
设 ，把 代入抛物线方程得 ，
由题意 ，且 ，从而

作业帮用户 2017-10-25

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