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(2013•滨湖区一模)Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D(4,m),与直线AB:y=12x+b交于点E(2,n).(1)m=12n12n,点B的纵坐标
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d96b95dea812dfa9ec8a13cd0f.jpg)
k |
x |
1 |
2 |
(1)m=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)若△BDE的面积为2,设直线AB与y轴交于点F,问:在射线FD上,是否存在异于点D的点P,使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,现有一动点M,从O点出发,沿x轴的正方向,以每秒2个单位的速度运动,设运动时间为t(s),问:是否存在这样的t,使得在直线AB上,有且只有一点N,满足∠MNC=45°?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点E(2,n)和点D(4,m)在反比例函数y=
(k≠0)的图象上,
∴k=2n,k=4m,
∴4m=2n,
∴m=
n,
∵点E(2,n)在直线y=
x+b上,
∴点E的坐标是(2,1+b),
∴1+b=n,
∴b=n-1,
∵点B的横坐标是4,点B在直线y=
x+b上,
∴点B的坐标是(4,2+b),
∴点B的纵坐标是2+n-1=n+1;
故答案为:
n;n+1.
(2)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77c6a7efce1b9d164f6976d0f0deb48f8d5464d1.jpg)
∵E(2,n),D(4,
n),B(4,n+1),
∵△BDE的面积为2,
∴
×(
n+1)×2=2,
解得n=2,
∴直线AB的解析式为:y=
x+1,A(-2,0)、F(0,1).
∴B(4,3),D(4,1),C(4,0),
∴FD∥AC,
∵在射线FD上,异于点D的点P,使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,只可能为△BFP∽△CAB,
∴
=
,
=
,
解得FP=5,
从而可得P(5,1).
(3)以MC为斜边,作等腰直角△QMC,则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q,与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC=45°,
由题意知,在直线AB上,有且只有一点N,满足∠MNC=45°,
∴⊙Q恰好与AB相切,
∴点Q到AB的距离d=QM=
MC,
①![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f79052f98fab8f0ff3d7ca7acbd5eb.jpg)
当运动时间为t(s)时,则M(2t,0),
当点M在C点左侧时,则MC=4-2t,
由S△QAB+S△QAC+S△QBC=S△ABC可得:
×3
k |
x |
∴k=2n,k=4m,
∴4m=2n,
∴m=
1 |
2 |
∵点E(2,n)在直线y=
1 |
2 |
∴点E的坐标是(2,1+b),
∴1+b=n,
∴b=n-1,
∵点B的横坐标是4,点B在直线y=
1 |
2 |
∴点B的坐标是(4,2+b),
∴点B的纵坐标是2+n-1=n+1;
故答案为:
1 |
2 |
(2)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77c6a7efce1b9d164f6976d0f0deb48f8d5464d1.jpg)
∵E(2,n),D(4,
1 |
2 |
∵△BDE的面积为2,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
解得n=2,
∴直线AB的解析式为:y=
1 |
2 |
∴B(4,3),D(4,1),C(4,0),
∴FD∥AC,
∵在射线FD上,异于点D的点P,使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,只可能为△BFP∽△CAB,
∴
FP |
AB |
BF |
CA |
FP | ||
3
|
2
| ||
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解得FP=5,
从而可得P(5,1).
(3)以MC为斜边,作等腰直角△QMC,则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q,与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC=45°,
由题意知,在直线AB上,有且只有一点N,满足∠MNC=45°,
∴⊙Q恰好与AB相切,
∴点Q到AB的距离d=QM=
| ||
2 |
①
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f79052f98fab8f0ff3d7ca7acbd5eb.jpg)
当运动时间为t(s)时,则M(2t,0),
当点M在C点左侧时,则MC=4-2t,
由S△QAB+S△QAC+S△QBC=S△ABC可得:
1 |
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