如图，已知直线y＝−43x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过O、A两点，且其顶点的纵坐标为−43．（1）分别写出A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的函

Question

如图，已知直线y＝−(4)/(3)x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点．抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过O、A两点，且其顶点的纵坐标为−(4)/(3)．

（1）分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y＝−(4)/(3)x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
-(4)/(3)x+8=0，x=6；
y=0+8，y=8；
（6+0）÷2=3，（0+8）÷2=4．
∴A（6，0）、B（0，8）、C（3，4）；

（2）依题意有

c＝0

36a+6b+c＝0

9a+3b+c＝−(4)/(3)

解得

a＝(4)/(27)

b＝−(8)/(9)

c＝0

∴抛物线的函数解析式为y=(4)/(27)x2−(8)/(9)x；

（3）存在点P，使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形，
∵∠AOB=90°，A（6，0）、B（0，8），
∴AB＝√(OA2+OB2)＝√(62+82)＝10，
∵C是AB的中点，
∴OC=(1)/(2)AB＝BC=5，