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函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是.
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函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是______.
▼优质解答
答案和解析
由f(x)=3x-x3,
得f'(x)=3-3x2,
令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0解得x<-1或x>1
由此得函数在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
故函数在x=-1处取到极小值-2,
因为函数在(a2-12,a)的端点处的函数值取不到,
所以此极小值必是区间(a2-12,a)上的最小值.
∴a2-12<-1<a,解得-1<a<
又当x=2时,f(2)=-2,故有a≤2
综上知a∈(-1,2].
故答案为(-1,2].
得f'(x)=3-3x2,
令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0解得x<-1或x>1
由此得函数在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
故函数在x=-1处取到极小值-2,
因为函数在(a2-12,a)的端点处的函数值取不到,
所以此极小值必是区间(a2-12,a)上的最小值.
∴a2-12<-1<a,解得-1<a<
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又当x=2时,f(2)=-2,故有a≤2
综上知a∈(-1,2].
故答案为(-1,2].
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