如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）

Question

如图，已知抛物线y=ax ² +bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，- ），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

Answer 1

（1）y= x ² - x+2  A（2，0），B（6，0）
（2）存在，2
（3）y=- x+2

（1）如图，

由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4） ² - （a≠0）
∵抛物线经过（0，2）
∴a（0-4） ² - =2
解得：a= ，
∴y= （x-4） ² - ，
即：y= x ² - x+2
当y=0时， x ² - x+2=0
解得：x=2或x=6
∴A（2，0），B（6，0）；
（2）存在，
如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2 ，
∴AP+CP=BC=2 ，
∴AP+CP的最小值为2 ；
（3）如图3，连接ME，

∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中
，
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x
则RT△COD中，OD ² +OC ² =CD ² ，
∴x ² +2 ² =（4-x） ²
∴x= ，
∴D（ ，0）
设直线CE的解析式为y=kx+b
∵直线CE过C（0，2），D（ ，0）两点，
则 ，
解得： 。
∴直线CE的解析式为y=- x+2。