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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).(1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标;(2)在(1)
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如图,已知抛物线y=ax 2 +bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,- ![]() ![]() (1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标; (2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由; (3)在以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式. |
▼优质解答
答案和解析
(1)y= ![]() ![]() (2)存在,2 ![]() (3)y=- ![]() |
(1)如图, ![]() 由题意,设抛物线的解析式为y=a(x-4) 2 - ![]() ∵抛物线经过(0,2) ∴a(0-4) 2 - ![]() 解得:a= ![]() ∴y= ![]() ![]() 即:y= ![]() ![]() 当y=0时, ![]() ![]() 解得:x=2或x=6 ∴A(2,0),B(6,0); (2)存在, 如图2,由(1)知:抛物线的对称轴l为x=4, ![]() 因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小 ∵B(6,0),C(0,2) ∴OB=6,OC=2 ∴BC=2 ![]() ∴AP+CP=BC=2 ![]() ∴AP+CP的最小值为2 ![]() (3)如图3,连接ME, ![]() ∵CE是⊙M的切线 ∴ME⊥CE,∠CEM=90° 由题意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE ∵在△COD与△MED中 ![]() ∴△COD≌△MED(AAS), ∴OD=DE,DC=DM 设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x 则RT△COD中,OD 2 +OC 2 =CD 2 , ∴x 2 +2 2 =(4-x) 2 ∴x= ![]() ∴D( ![]() 设直线CE的解析式为y=kx+b ∵直线CE过C(0,2),D( ![]() 则 ![]() 解得: ![]() ∴直线CE的解析式为y=- ![]() |
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