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已知向量,且(O为坐标原点).(1)求点M的轨迹C的方程;(2)是否存在过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点,并且曲线C存在点P,使四边形OAPB为平行四边形?若存在,求出平行
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已知向量
,且
(O为坐标原点).
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点F(1,0)的直线l与曲线C相 交于A、B两点,并且曲线C存在点P,使四边形OAPB为平行四边形?若存在,求出平行四边形OAPB的面积;若不存在,说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8c1001e93901213f962a371557e736d12e2e95d9.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edfc3a587ea4a540923dc5475c9.jpg)
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点F(1,0)的直线l与曲线C相 交于A、B两点,并且曲线C存在点P,使四边形OAPB为平行四边形?若存在,求出平行四边形OAPB的面积;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵向量
,且![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b90e7bec54e736d165808dc098504fc2d4626962.jpg)
∴(2x-2)(x+1)-(2-
)
=0
化简可得,点M的轨迹C的方程为
;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意知l的斜率一定不为0,故不妨设l:x=my+1,代入椭圆方程,消元可得(2m2+3)y2+4my-4=0
∴y1+y2=-
,y1y2=-![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c81db275521bf3eb13532fa40e2.jpg)
假设存在点P,使四边形OAPB为平行四边形,其充要条件为![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2edd7d00ea218e1001e938019301.jpg)
∴P(x1+x2,y1+y2)
∴
+
=1
∴2
+3
+2
+3
+4x1x2+6y1y2=6
∵A,B在椭圆上,∴2
+3
=6,2
+3
,=6
∴2x1x2+3y1y2=-3
∵y1+y2=-
,y1y2=-![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c81db275521bf3eb13532fa40e2.jpg)
∴m=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab188dfc16ff36fae6cd7a890b0b.jpg)
当m=
时,y1=
,y2=
,∴x1=0,x2=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2f738bd4b31c8701d78c1d21247f9e2f0708ff3b.jpg)
∴![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb1356cd4ce72a51ea8d3fc1f44e3.jpg)
∴cos![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/eac4b74543a982267fd252ee8982b9014b90ebec.jpg)
∴sin∠AOB=![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fcfaaf51f3deb48f14fa6319f31f3a292cf57862.jpg)
∴平行四边形OAPB的面积为![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4a36acaf2edda3cc55c6c1e902e93901203f92dc.jpg)
当m=-
时,同理可得平行四边形OAPB的面积为![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e17ca7f07f64990f603728de931.jpg)
故存在存在点P,使四边形OAPB为平行四边形.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/aec379310a55b31947d0fbbc40a98226cefc17c9.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b90e7bec54e736d165808dc098504fc2d4626962.jpg)
∴(2x-2)(x+1)-(2-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b21bb051f8198618ca4dd74c49ed2e738ad4e6f4.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b03533fa828ba61ecaf6b1e64234970a314e59da.jpg)
化简可得,点M的轨迹C的方程为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7af40ad162d9f2d32428a128aaec8a136327cc38.jpg)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意知l的斜率一定不为0,故不妨设l:x=my+1,代入椭圆方程,消元可得(2m2+3)y2+4my-4=0
∴y1+y2=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a50f4bfbfbedab64a6533409f436afc378311ed1.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c81db275521bf3eb13532fa40e2.jpg)
假设存在点P,使四边形OAPB为平行四边形,其充要条件为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2edd7d00ea218e1001e938019301.jpg)
∴P(x1+x2,y1+y2)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/58ee3d6d55fbb2fba40b21db4c4a20a44723dcd3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df3d7ca7bcb0a460603f2f16863f6246a60afd1.jpg)
∴2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/241f95cad1c8a7863079c1c96409c93d71cf50a2.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8014c086e061d95db564ef178f40ad163d9cae3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2eddc2836f218e1001e938019383.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6c224f4a20a44623e5dadcab9b22720e0df3d7e3.jpg)
∵A,B在椭圆上,∴2
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/241f95cad1c8a7863079c1c96409c93d71cf50a2.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a8014c086e061d95db564ef178f40ad163d9cae3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/77094b36acaf2eddc2836f218e1001e938019383.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6c224f4a20a44623e5dadcab9b22720e0df3d7e3.jpg)
∴2x1x2+3y1y2=-3
∵y1+y2=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a50f4bfbfbedab64a6533409f436afc378311ed1.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9d82d158ccbf6c81db275521bf3eb13532fa40e2.jpg)
∴m=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5366d0160924ab188dfc16ff36fae6cd7a890b0b.jpg)
当m=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3b292df5e0fe992541ebc59737a85edf8cb17116.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/203fb80e7bec54e7e7be83d9ba389b504ec26aa3.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3b292df5e0fe992541ebc59737a85edf8cb17116.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2f738bd4b31c8701d78c1d21247f9e2f0708ff3b.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb1356cd4ce72a51ea8d3fc1f44e3.jpg)
∴cos
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/eac4b74543a982267fd252ee8982b9014b90ebec.jpg)
∴sin∠AOB=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fcfaaf51f3deb48f14fa6319f31f3a292cf57862.jpg)
∴平行四边形OAPB的面积为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4a36acaf2edda3cc55c6c1e902e93901203f92dc.jpg)
当m=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3b292df5e0fe992541ebc59737a85edf8cb17116.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/42a98226cffc1e17ca7f07f64990f603728de931.jpg)
故存在存在点P,使四边形OAPB为平行四边形.
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