给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数与是互素的合数．（这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元

Question

给定整数 ，证明：存在 n 个互不相同的正整数组成的集合 S ，使得对 S 的任意两个不同的非空子集 A ， B ，数
 与 
是互素的合数．（这里 与 分别表示有限数集 的所有元素之和及元素个数．）

Answer 1

给定整数 ，证明：存在 n 个互不相同的正整数组成的集合 S ，使得对 S 的任意两个不同的非空子集 A ， B ，数
 与 
是互素的合数．（这里 与 分别表示有限数集 的所有元素之和及元素个数．）

见解析

我们用 表示有限数集 X 中元素的算术平均．
第一步，我们证明，正整数的 n 元集合 具有下述性质：对 的任意两个不同的非空子集 A ， B ，有 ．
证明：对任意 ， ，设正整数 k 满足
，                        ①
并设 l 是使 的最小正整数．我们首先证明必有 ．
事实上，设 是 A 中最大的数，则由 ，易知 A 中至多有 个元素，即 ，故 ．又由 的定义知 ，故由①知 ．特别地有 ．
此外，显然 ，故由 l 的定义可知 ．于是我们有 ．
若 ，则 ；否则有 ，则

．
由于 是 A 中最大元，故上式表明 ．结合 即知 ．
现在，若有 的两个不同的非空子集 A ， B ，使得 ，则由上述证明知 ，故 ，但这等式两边分别是 A ， B 的元素和，利用 易知必须 A = B ，矛盾．
第二步，设 K 是一个固定的正整数， ，我们证明，对任何正整数 x ，正整数的 n 元集合 具有下述性质：对 的任意两个不同的非空子集 A ， B ，数 与

作业帮用户 2016-12-09

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