考虑由10个元素组成的集合M=｛19,99,-1,0,25,-36,-91,1,-2,11｝,计M所有非空子集为Mi,i=1,2,3……1023,每一个Mi中所有元素的乘积为Mi,求M1+M2+M3……M1023

Question

考虑由10个元素组成的集合M=｛19,99,-1,0,25,-36,-91,1,-2,11｝,计M所有非空子集为Mi,i=1,2,3……1023,每一个Mi中所有元素的乘积为Mi,求M1+M2+M3……M1023

Answer 1

为方便计,记此10个元素分别为x1,x2,x3,……x10
只有一个元素的子集有10个,每一个子集的元素的积分别是x1,x2,……x10,它们的和为 Σxi
有两个元素的子集的所有元素的积为 xi,xj,其积为 xi*xj,它们的和为Σxi*xj,
有三个元素的子集的所有元素的积为 xi,xj,xk,其积为 xi*xj,xk它们的和为Σxi*xj*xk
……
有10个元素的子集的所有元素的积为 Πxi,
M1+M2+M3……M1023等于上面10行的和
M1+M2+M3……M1023
=Σxi+Σxi*xj+Σxi*xj*xk+……+Πxi,
=1+Σxi+Σxi*xj+Σxi*xj*xk+……+Πxi-1
=Π(1+xi)-1
因为x3=-1 ,所以1+x3=0,所以Π(1+xi)=0
故M1+M2+M3……M1023=-1