1·反函数与原函数的关系,及反函数的一些性质.2·原函数与反函数的交点未必在直线y=x上.如何证明该命题?3·函数存在反函数的充要条件是什么?4·如果一个函数是递增函数(存在反函数）,那么

Question

1·反函数与原函数的关系,及反函数的一些性质.
2·原函数与反函数的交点未必在直线y=x上.如何证明该命题?
3·函数存在反函数的充要条件是什么?
4·如果一个函数是递增函数(存在反函数）,那么若与反函数有交点一定在y=x上?为什么?若是递减函数呢?

Answer 1

就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y＝f（x）为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f（x）＝y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x＝f -1（y）.称f -1为f的反函数.习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y＝f -1（x） ,例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数.在同一坐标系中,y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称.
隐函数
[编辑本段]
若能由函数方程 F（x,y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x）,即F（x,f（x））≡0,就称y是x的隐函数.
思考：隐函数是否为函数?因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数
[编辑本段]
设点（x1,x2,…,xn） ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点（x1,x2,…,xn）∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U,u＝f（x1,x2,…,xn）,则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域.
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数.
①幂函数：y＝xμ（μ≠0,μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞,＋∞）,μ为负整数时是（－∞,0）∪（0,＋∞）；μ＝(α为整数),当α是奇数时为（ －∞,＋∞）,当α是偶数时为（0,＋∞）；μ＝p／q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论.略图如图2、图3.
②指数函数：y＝ax（a＞0 ,a≠1）,定义成为（ －∞,＋∞）,值域为（0 ,＋∞）,a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时,） ,0＜a＜1 时是严格单减函数.对任何a,图像均过点（0,1）,注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称.如图4.
③对数函数：y＝logax（a＞0）,称a为底 ,定义域为（0,＋∞）,值域为（－∞,＋∞） .a＞1 时是严格单调增加的,0＜a＜1时是严格单减的.不论a为何值,对数函数的图形均过点（1,0）,对数函数与指数函数互为反函数 .如图5.
以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx .在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx.
④三角函数：见表2.
正弦函数、余弦函数如图6,图7所示.
⑤反三角函数：见表3.双曲正、余弦如图8.
⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x）,双曲余弦?（ex＋e-x）,双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ,双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）.
[编辑]补充
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.
术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思.
二次函数
[编辑本段]
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
1．二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0,0)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,sqrt[4ac-b^2]/4a)
对 称 轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k