高数证明题设函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内具有二阶导数,且f(a)=f(b),f(x)在x=a处的右导数为正,证明在（a,b）内至少存在一点,使得该点的二阶导数小于零．

Question

高数证明题
设函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内具有二阶导数,且f(a)=f(b),f(x)在x=a处的右导数为正,证明在（a,b）内至少存在一点,使得该点的二阶导数小于零．

Answer 1

说说思路：由“f(x)在x=a处的右导数为正”得lim(x→a+) ((f(x)-f(a))/(x-a)＞0,由极限保号性,存在一点c∈(a,b),使得f(c)＞f(a).在[a,c]与[c,b]上分别使用拉格朗日中值定理,得到点a＜ξ1＜c＜ξ2＜b,使得f'(ξ1)＞0,f'(ξ2)＜0.再在[ξ1,ξ2]使用拉格朗日中值定理即可得结论.