设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限limx→a+f(2x−a)x−a存在，证明：（1）在（a，b）内f（x）＞0；（2）在（a，b）内存在点ξ，使b2−a2∫baf(x

Question

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限

lim

x→a+

(f(2x−a))/(x−a)存在，证明：
（1）在（a，b）内f（x）＞0； 
（2）在（a，b）内存在点ξ，使(b2−a2)/(∫baf(x)dx)＝(2ξ)/(f(ξ))；
（3）在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b²-a²）=

(2ξ)/(ξ−a)∫

b a

f(x)dx．

Answer 1

（1）因为极限

lim

x→a+

(f(2x−a))/(x−a)存在，故

lim

x→a+

f(2x−a)＝f(a)＝0 
又f'（x）＞0，于是f（x）在（a，b）内单调增加，故f（x）＞f（a）=0，x∈（a，b）；
（2）设F（x）=x²，g(x)＝

∫

x a

f(t)dt，a≤x≤b，则g'（x）=f（x）＞0，故F（x），g（x）满足柯西中值定理的条件，于是在（a，b）内存在点ξ，使
(F(b)−F(a))/(g(b)−g(a))＝(b2−a2)/(∫baf(t)dt−∫aaf(t)dt)=(b2−a2)/(∫baf(t)dt)=(F′(x))/(g′(x))＝(2x)/(f(x))|x＝ξ=(2ξ)/(f(ξ))，
即(b2−a2)/(∫baf(x)dx)＝(2ξ)/(f(ξ))；
（3）因f（ξ）=f（ξ）-0=f（ξ）-f（a），在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在（a，ξ）内存在一点η，使f（ξ）=f'（η）（ξ-a），
从而由（2）的结论得(b2−a2)/(∫baf(x)dx)＝(2ξ)/(f(ξ))=(2ξ)/(f′(η)(ξ−a))，
即在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b²-a²）=

(2ξ)/(ξ−a)∫

b a

f(x)dx．