设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足对于任意x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足对于任意x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=3，则f（9）=f（3）+f（3）=2f（3）=2，
即f（9）=2，
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（a-1）+f（9）=f（9a-9），
∴f（a）＞f（9a-9），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

a＞0

a−1＞0

a＞9a−9

，即

a＞0

a＞1

a＜(9)/(8)

，
∴1＜a＜(9)/(8)，
∴实数a的取值范围是：（1，(9)/(8)）．