讨论函数f（x）=x+ax（a＞0）的单调性．

Question

讨论函数f（x）=x+(a)/(x)（a＞0）的单调性．

Answer 1

f（x）=x+(a)/(x)（a＞0），
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+(a)/(−x)=-（x+(a)/(x)）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数，
所以先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．
设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+(a)/(x1)-x₂-(a)/(x2)=（x₁-x₂）（1-(a)/(x1x2)），
∵当0＜x₂＜x₁≤√(a)时，恒有(a)/(x1x2)＞1．
则f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（0，√(a)]上是减函数．
当x₁＞x₂≥√(a)时，恒有0＜(a)/(x1x2)＜1，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在[√(a)，+∞）上是增函数．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-

作业帮用户 2017-11-15

问题解析

根据函数的解析式，我们易判断出函数的定义域和奇偶性，然后利用作差法，我们先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．再根据奇函数在对称区间上单调性相同，易判断出函数f（x）=x+(a)/(x)（a＞0）的单调性．

名师点评

本题考点：

函数单调性的判断与证明．

考点点评：

本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，作差法是证明和判断单调性时最常用的方法，利用奇函数在对称区间上单调性相同能简化本题的解题步骤．

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