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已知:函数f(x)=x-1x,(1)求:函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
题目详情
已知:函数f(x)=x-
,
(1)求:函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;
(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
1 |
x |
(1)求:函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由;
(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞);
(2)定义域关于原点对称,f(-x)=(-x)-
=−x+
=−f(x),
则:函数f(x)是奇函数;
(3)判断:函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
f(x1)−f(x2)=x1−
−x2+
=(x1−x2)+
=(x1−x2)(1+
)
∵x1<x2,∴x1-x2<0,
∵x1,x2∈(0,+∞),∴1+
>0,
∴f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(1+
)<0,即f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)定义域关于原点对称,f(-x)=(-x)-
1 |
−x |
1 |
x |
则:函数f(x)是奇函数;
(3)判断:函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
f(x1)−f(x2)=x1−
1 |
x1 |
1 |
x2 |
x1−x2 |
x1x2 |
1 |
x1x2 |
∵x1<x2,∴x1-x2<0,
∵x1,x2∈(0,+∞),∴1+
1 |
x1x2 |
∴f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(1+
1 |
x1x2 |
∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
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