已知：函数f（x）=x-1x，（1）求：函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Question

已知：函数f（x）=x-(1)/(x)，
（1）求：函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）-(1)/(−x)＝−x+(1)/(x)＝−f(x)，
则：函数f（x）是奇函数；
（3）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x_2∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
f(x1)−f(x2)＝x1−(1)/(x1)−x2+(1)/(x2)＝(x1−x2)+(x1−x2)/(x1x2)＝(x1−x2)(1+(1)/(x1x2))
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵x₁，x_2∈（0，+∞），∴1+(1)/(x1x2)＞0，
∴f(x1)−f(x2)＝(x1−x2)(1+(1)/(x1x2))＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．